¿Como se calcula? Interes simple e interes compuesto - tasa nominal y tasa efectivaSupongamos que un amigo nos hizo un préstamo por valorde $ 400,000 el 15 de mayo de 2005. Vamos a cancelarlo, junto con los intereses, el 15 de octubre de 2005. La tasa de interés que hemos acordado es del 2 por ciento mensual. ¿Cuánto tendremos que pagar de intereses en este caso? Por cada mes se deben pagar $ 400,000 x 0.02 = $ 8,000 Entre mayo 15 de 2005 y octubre 15 de 2005998 habrán transcurrido 5 meses, por lo cual los intereses serán $ 8,000 x 5 = 40,000, y la cantidad total que debemos cancelar es de $ 400,000 + $ 40,000 = $ 440,000 Si M0 (Monto inicial) es la suma adeudada, i la tasa de interés por período (diario, mensual, trimestral, anual, etc.), I los intereses totales acumulados, y ttiempo en número de períodos (días, meses, trimestres, años, etc., según la forma como se haya especificado la tasa de interés), tenemos: el I = M0 · i · t es decir, I = 400,000 x 0,02 x 5 = 40,000 y la suma total a pagar, o sea el monto (M) de capital mas intereses acumulados será: M = M0 + I = M0 + M0 · i · t = M0 · ( 1 + i · t ) Es decir, M = 400,000 x ( 1 + 0,02 x 5 ) = 440,000 Esta forma de liquidar los intereses se denomina de interés simple, sistemaque ya tiene poca utilización en el mundo financiero. Hoy en día, para la mayoría de las aplicaciones, especialmente las referentes a inversiones, se piensa más en términos de interés compuesto,que consiste en que los intereses devengados durante un período se suman al capital al final del período (se capitalizan) y ganan a su vez intereses durante el período siguiente. Un caso sencillo es del de las cuentas de ahorro. Supongamos que una cuenta tradicional de ahorros gana intereses a una tasa nominal del 4% anual, capitalizables trimestralmente. Entonces el período a considerar es un trimestre, con intereses de 4/4 = 1.0% por trimestre. Cada trimestre se liquidan los intereses y se suman al capital para ganar también intereses durante el siguiente trimestre. Si se depositan $ 100,000 en esta cuenta de ahorros al comienzo del año, ¿cuánto dinero habrá en esa cuenta al cabo de 12 meses? Al final del primer período trimestral tendremos ganados intereses de $ 100,000 x 0,01 = $ 1,000. El Monto que se tendrá entonces al final del primer período, para ganar intereses durante el segundo, será: M1 = M0 + M0 · i = M0 · ( 1 + i ) M1 = 100,000 x ( 1 + 0,01 ) = 101,000 Durante el segundo período trimestral este nuevo monto, que incluye los intereses ganados durante el primer período, ganará nuevos intereses, esta vez en la cuantía de: $ 101,000 x 0,01 = 1,010 Al sumarle estos nuevos intereses al monto acumulado, M1, se tendrá un nuevo monto al final del segundo período, M2: M2 = 101,000 + 1,010 = 102,010 Lo cual se puede expresar simbólicamente: M2 = M1 + M1 · i = M0 · ( 1+ i ) + M0 · ( 1 + i ) · i Entonces, se deduce que M2 = M0 · ( 1 + i ) · ( 1 + i ) = M0 · ( 1 + i )2 De la misma manera se encontrará que M3 = 102,010 + 102,010 x 0,01 = 103,030 O, en símbolos, M3 = M2 + M2 · i = M2 · ( 1 + i ) Es decir, M3 = M0 · ( 1 + i )2 · ( 1 + i ) = M0 · ( 1 + i )3 De la misma manera encontraremos que M4 = M0 · ( 1 + i )4 y, en general, Mt = M0 · ( 1 + i )t Siendo tel número de períodos a considerar. De esta forma, podemos llegar a la respuesta a la pregunta: ¿Cuánto dinero habrá en nuestra cuenta de ahorros al cabo de doce meses? Como los períodos de capitalización son trimestrales, t= 4 trimestres, y necesitamos entonces trabajar con la tasa de interés por trimestre, que ya habíamos calculado en 1% trimestral. De esta manera tenemos: M4 = 100,000 x (1 + 0.01)4 = 100,000 x 1.040604 = 104,060.40 Esto significa que durante los cuatro trimestres transcurridos, los $ 100,000 iniciales se convirtieron en $ 104,060.40, generando intereses totales de $ 4,060.40. En términos porcentuales, esto equivale al 4.06 % anual, o sea que cada pesos se convierte al cabo de un año en $ 1.04604 Aquí se presenta una discrepancia entre el valor de 4% que nos habían dicho que pagaba la caja de ahorros y el 4.06% que fue lo efectivamente recibido. ¿A qué se debe esta discrepancia? Este fenómeno se debe a la capitalización periódica de los intereses que caracteriza la modalidad de interés compuesto. Si no hubiera capitalización, los intereses recibidos habrían sido de $ 4,000, como sería el caso del interés simple a la tasa nominal del 4%. Pero como este no es el caso, sino que los intereses ganados al final del primero, segundo y tercer trimestre se van sumando en cada etapa al capital y, a su turno, empiezan a ganar intereses también, el porcentaje de interés efectivamente ganado al final viene a ser mayor que lo que se había estipulado como interés nominal. En este punto, podemos hacer entonces una distinción entre la tasa de interés nominal (4% anual), y la que corresponde a lo efectivamente recibido, tasa de interés efectiva, que en este caso es de 4.06% anual. Vale la pena recordar que en sistema de ahorro tradicional, los intereses se calculan sobre los saldos mínimos trimestrales, es decir, un capital gana intereses durante un trimestre sólo si estuvo depositado allí durante todo el trimestre, por lo cual el valor de ten la fórmula tiene que ser un número entero; además, los trimestres que se tienen en cuenta son aquellos que principian el primer día de enero, abril, julio y octubre, con un período de gracia de diez días (es decir, si se deposita el dinero dentro de los 10 primeros días del trimestre, se considera como si se hubiera depositado el primer día del trimestre). Intereses anticipados e intereses vencidos Normalmente, cuando se cita una tasa de interés sin ninguna calificación, se entiende que se habla de intereses nominales, y que el pago se efectúa al vencimiento del período. Sin embargo, se presenta a veces el cobro anticipado de intereses. Esta práctica encubre en realidad un aumento de los intereses efectivamente cobrados. Supongamos que nos otorgan un crédito por $ 100.000 para cancelar dentro de un año a una tasa de interés del 36% anual, pagaderos por trimestre anticipado. Esto quiere decir que antes de salir del bancocon el dinero ya hemos pagado anticipadamente el 9% de intereses por los primeros tres meses (36/4=9), es decir, hemos pagado $ 9.000. Entonces, en realidad, el banco me entregó solamente $ 91.000, y por ese dinero tengo que pagarle $ 9.000 por trimestre. La verdadera tasa trimestral es en realidad entonces de 9/91 = 0,0989 por trimestre, que al hacer el cálculo compuesto resulta en una tasa efectiva anual de: Tasa Efectiva = ( 1 + 9/91 )4 - 1 = 0,4583 Si en lugar de un trimestre anticipado el pago de intereses fuera por semestre anticipado, habría que pagar 18% anticipado por semestre, es decir, del valor del préstamo sólo entregarían $ 82.000, por los cuales habría que pagar $ 18.000 de intereses cada semestre. La tasa efectiva en este caso sería de 18/82 = 0,2195 semestral o, en términos anuales: Tasa Efectiva Anual = ( 1 + 0,2195 )2 - 1 = 0,4872 Es decir, una tasa efectiva del 48,72%, cuando se había partido de una tasa nominal del 36%.
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